Question

【題目】某水域受到污染，水務(wù)部門(mén)決定往水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)，已知每次投放質(zhì)量為的藥劑后，經(jīng)過(guò)（）天，該藥劑在水中釋放的濃度（毫克升）為，其中，當(dāng)藥劑在水中釋放濃度不低于（毫克升）時(shí)稱為有效凈化，當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于（毫克升）且不高于（毫克升）時(shí)稱為最佳凈化.

（1）如果投放的藥劑質(zhì)量為，那么該水域達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？

（2）如果投放的藥劑質(zhì)量為，為了使該水域天（從投放藥劑算起，包括第天）之內(nèi)都達(dá)到最佳凈化，確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量的值.

Answer 1

【答案】（1）天；（2）.

【解析】

（1）由，且，可得出藥劑在水中釋放濃度的函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為分段函數(shù)，分和解不等式，即可得出水域達(dá)到有效凈化所持續(xù)的天數(shù)；

（2）求出關(guān)于的解析式，分區(qū)間討論該函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意，只需函數(shù)在區(qū)間和上的值域均為的子集，由此列出不等式（組）解出實(shí)數(shù)的值.

（1），.

當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，令，解得.

所以，不等式的解為，因此，該水域達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)天；

（2）由題意知，，且.

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，由題意可得，

則有，解得；

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且，由題意可得，

則，解得.

綜上所述，.