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        1. 已知數(shù)列{an}、{bn}滿足:a1=
          1
          4
          ,an+bn=1,bn+1=
          bn
          1-
          a
          2
          n

          (1)求b1,b2,b3,b4;
          (2)猜想數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
          分析:(1)依題意,可求得bn+1=
          1
          2-bn
          ,結(jié)合a1=
          1
          4
          ,an+bn=1即可求得b1,b2,b3,b4;
          (2)由(1)可猜想bn=
          n+2
          n+3
          ,用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.可分二步走,①當(dāng)n=1時(shí),易證命題成立;②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,去推證當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立即可.
          解答:解:(1)bn+1=
          bn
          1-
          a
          2
          n
          =
          bn
          (1-an)(1+an)
          =
          bn
          bn(2-bn)
          =
          1
          2-bn
          ,
          ∵a1=
          1
          4
          ,b1=
          3
          4
          ,
          ∴b2=
          4
          5
          ,b3=
          5
          6
          ,b4=
          6
          7
          ,…4分
          (2)猜想bn=
          n+2
          n+3
          ,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明…5分
          ①當(dāng)n=1時(shí),b1=
          3
          4
          =
          1+2
          1+3
          ,命題成立,…6分
          ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即bk=
          k+2
          k+3
          ;
          那么當(dāng)n=k+1時(shí),bk+1=
          1
          2-bk
          =
          1
          2-
          k+2
          k+3
          =
          k+3
          k+4
          =
          (k+1)+2
          (k+1)+3
          ;
          ∴當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立;
          由①②知,對(duì)任意正整數(shù)命題都成立…8分
          點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)學(xué)歸納法,猜得bn=
          n+2
          n+3
          是關(guān)鍵,考查數(shù)列遞推式,考查猜想與推理證明的能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1<0,
          an+1
          an
          =
          1
          2
          ,則數(shù)列{an}是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,nan+1=2(n十1)an+n(n+1),(n∈N*),
          (I)若bn=
          ann
          +1
          ,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
          (II)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•順義區(qū)二模)已知數(shù)列{an}中,an=-4n+5,等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q=an-an-1(n≥2),且b1=a2,則|b1|+|b2|+…+|bn|=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
          an=
          5
                n=1
          2n+2
              n≥2
          an=
          5
                n=1
          2n+2
              n≥2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n,那么它的通項(xiàng)公式為an=
          2n
          2n

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          同步練習(xí)冊(cè)答案