Question

已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

分析：由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小”，最后將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形面積求解．

解答：解：：∵圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，∴圓心C（1，1），半徑r=1．
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，
切線長PA，PB最小．
∵圓心到直線的距離為d=

|3+4+8|

9+16

=3，∴PA=PB=

d2-r2

=2

2

．
故四邊形PACB面積的最小值為 2S_△PAC=2×

1

2

×PA×r=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，解題的關(guān)鍵是“若四邊形
面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小”屬于中檔題．