Question

（2013•普陀區(qū)二模）若a∈R，則“關(guān)于x的方程x²+ax+1=0無實(shí)根”是“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的（　�。�

A．充分非必要條件．

B．必要非充分條件．

C．充要條件．

D．既非充分又非必要條件．

Answer 1

分析：一方面由a∈R，且“關(guān)于x的方程x²+ax+1=0無實(shí)根”，得到△=a²-4＜0，解得a的取值范圍，即可判斷出“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是否位于第四象限”；
另一方面，由“a∈R，z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”，可得

2a-1＞0 a-1＜-0

，解出a的取值范圍，即可判斷出△＜0是否成立即可．

解答：解：①∵a∈R，且“關(guān)于x的方程x²+ax+1=0無實(shí)根”，
∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2．
∴-3＜2a-1＜3，-3＜a-1＜1，
因此z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不一定位于第四象限；
②若“a∈R，z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”正確，
則

2a-1＞0 a-1＜0

，解得

1

2

＜a＜1．
∴△＜0，
∴關(guān)于x的方程x²+ax+1=0無實(shí)根正確．
綜上①②可知：若a∈R，則“關(guān)于x的方程x²+ax+1=0無實(shí)根”是“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的必要非充分條件．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握實(shí)系數(shù)一元二次方程的是否有實(shí)數(shù)根與判別式△的關(guān)系、復(fù)數(shù)z位于第四象限的充要條件事件他的關(guān)鍵．