Question

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，外接圓半徑是1，且滿足條件2（sin²A-sin²C）=（sinA-sinB）b，則△ABC的面積的最大值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  3 3

  4

• D．

  3

Answer 1

分析：由正弦定理結(jié)合R=1，化簡(jiǎn)已知等式得到a²+b²-c²=ab，利用余弦定理算出cosC=

1

2

，從而可得C=60°．再利用基本不等式求出ab≤3，用正弦定理的面積公式即可算出△ABC的面積的最大值．

解答：解：由正弦定理，可得b=2RsinB=2sinB，
代入已知等式得 2sin²A-2sin²C=2sinAsinB-2sin²B，
即sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，
∴a²+b²-c²=ab，
由此可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
結(jié)合C∈（0°，180°），得C=60°．
∵ab=a²+b²-c²=a²+b²-（2RsinC）²=a²+b²-3≥2ab-3，
∴ab≤3 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)），
∵△ABC面積為S=

1

2

absinC≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

3

時(shí)，△ABC的面積的最大值為

3 3

4

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊角關(guān)系，求三角形面積的最大值，著重考查了正余弦定理、三角形的面積公式和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．