Question

如圖，圓F：（x-1）²+y²=1和拋物線x=

y2

4

，過(guò)F的直線與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(diǎn)，求|AB|•|CD|的值是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．無(wú)法確定

Answer 1

分析：可分兩類討論，若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而|AB||CD|=1．
若直線的斜率存在，設(shè)為直線方程為y=k（x-1），不妨設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過(guò)AB分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義，|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用韋達(dá)定理及|AB|=|AF|-|BF|=x₁，|CD|=|DF|-|CF|=x₂，可求|AB||CD|的值．

解答：解：若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），所以|AB|=1，|CD|=1，從而|AB||CD|=1．
若直線的斜率存在，設(shè)為k，因?yàn)橹本�過(guò)拋物線的焦點(diǎn)（1，0），則直線方程為y=k（x-1），
不妨設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過(guò)AB分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義，|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，
把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由韋達(dá)定理有 x₁x₂=1
而拋物線的焦點(diǎn)F同時(shí)是已知圓的圓心，所以|BF|=|CF|=R=1
從而有|AB|=|AF|-|BF|=x₁，|CD|=|DF|-|CF|=x₂．
所以|AB||CD|=x₁x₂=1
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與拋物線的綜合，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查拋物線的定義，綜合性強(qiáng)．