Question

已知函數(shù)f(x)=a|x|+

2

ax

，(a＞0，a≠1)
（1）a＞1，解關(guān)于x的方程f（x）=3．
（2）記函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最值與a無關(guān)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令f(x)=a|x|+

2

ax

=3，對x的范圍分類進(jìn)行討論求解即可．求解本題宜分為兩類，分別為x≥0時與x＜0時．
（2） 按a＞1，與0＜a＜1分兩類對函數(shù)的最值進(jìn)行討論，求出最值，若最值與參數(shù)無關(guān)，則此時的a的范圍即所求．

解答：解：（1）令f(x)=a|x|+

2

ax

=3
當(dāng)x≥0時，方程變?yōu)閍^2x-3a^x+2=0，解得a^x=1或a^x=2，可得=0或log_a2
 當(dāng)x＜0時，方程變?yōu)?+2=3a^x，解得x=0故此類下無解．
  綜上 x=0或log_a2（4分）；
（2）由題設(shè)，g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），下分類討論：
①若a＞1，則
（�。┊�(dāng)x≥0時，a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈[3，+∞）
（ⅱ）-2≤x＜0時，

1

a2

≤ax＜1，g（x）=a^-x+2a^x
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=

2(ax)2-1

ax

lna
從而當(dāng)

1

a2

＞

1 2

即1＜a＜

4	2

時，對?x∈（-2，0），g'（x）＞0，
∴g（x）在[-2，0）上遞增
∴g（x）∈[a2+

2

a2

，3)，由此g（x）有最小值a2+

2

a2

與a有關(guān)，不符合．
當(dāng)

1

a2

≤

1 2

即a≥

4	2

時，由g'（x）=0得x=-

1

2

loga2
則-2＜x＜-

1

2

loga2時，g'（x）＜0；-

1

2

loga2＜x＜0時，g'（x）＞0
∴g（x）在[-2，-

1

2

loga2]上遞減，在[-

1

2

loga2，0]上遞增，∴g（x）_min=g(-

1

2

loga2)=2

2

g（x）有最小值為2

2

與a無關(guān)，符合要求（6分）
②若0＜a＜1，則
（ⅰ）x≥0時，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈（0，3]
（ⅱ）-2≤x＜0時，1＜ax≤

1

a2

，g（x）=a^-x+2a^x，
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=

2(ax)2-1

ax

lna＜0，∴g（x）在[-2，0）上遞減，
∴g（x）∈(3，a2+

2

a2

]，由此g（x）有最大值a2+

2

a2

與a有關(guān)，不符合
綜上：實數(shù)a的取值范圍是a≥

4	2

（6分）．

點評：本題的考點是指數(shù)函數(shù)的綜合題，考查解指數(shù)方程與指數(shù)函數(shù)下的恒成立問題求參數(shù)，在第二小題的求解中，由于參數(shù)a的取值范圍不同，轉(zhuǎn)化的結(jié)果不同，故采取了分類討論的方式來探究本題，此題難度較大，是訓(xùn)練復(fù)雜邏輯推理的一道好題，很好地訓(xùn)練了分類討論的思想與轉(zhuǎn)化化歸的思想．