Question

已知，函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間和值域；

（2）設(shè)，若，總，使得成立，求的取值范圍；

（3）對(duì)于任意的正整數(shù)，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間，（2）；（3）略

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

解 （1）令，解得（舍去），

	0	()		(1)	1
		__	0	+
		↘		↗

單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間，；…… 4分

（2）∵，

 ∴當(dāng)時(shí)，…………………6分

∴為上的減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)有，…8分

由題意知：，

即故 ；………………… 10分

（3）構(gòu)造函數(shù)：，

則，………………… 11分

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)增，………………… 12分

∴時(shí)，恒有，……13分

即 恒成立，…………………14分

故對(duì)任意正整數(shù)，取有．