Question

已知函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，
（1）求證：函數(shù)f（x）-g（x）必有零點；
（2）設(shè)函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）-1，若|G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）-g（x）的零點即為，方程f（x）-g（x）=0的根，根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，構(gòu)造方程f（x）-g（x）=0，判斷其△的與0的關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（2）由已知中函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）-1，我們可得到函數(shù)G（x）的解析式，分析二次函數(shù)G（x）的值域，進而根據(jù)對折變換確定函數(shù)y=|G（x）|的圖象及性質(zhì)，進而得到滿足條件的實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）證明∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m
又∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m=0時，
則△=（m-2）²-4（m-3）=（m-4）²≥0恒成立，
所以方程f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m=0有解
函數(shù)f（x）-g（x）必有零點
解：（2）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m
①令G（x）=0則△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）
當(dāng)△≤0，2≤m≤6時G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x²+（2-m）x+m-2，在[-1，0]上是減函數(shù)，則2≤m≤6
②△＞0，m＜2，m＞6時|G（x）|=|x²+（2-m）x+m-2|
因為|G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)
所以方程x²+（2-m）x+m-2=0的兩根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且x=

m-2

2

≤-1，得到m≤0
綜合①②得到m的取值范圍是（-∞，0]∪[2，+∞）．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點的判定定理，其中熟練掌握二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的辯證關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．