Question

（2012•上饒一模）橢圓C1：

x2

a2

+y2=1(a＞0)與雙曲線C2：

x2

m2

-y2=1(m＞0)有公共焦點，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，曲線C₁，C₂在第一象限交于點P，I是△PF₁F₂內(nèi)切圓圓心，O為坐標原點，F(xiàn)₂H垂直射線PI于H點，|OH|=

2

，則I點坐標是

(

2

，2-

3

)

．

Answer 1

分析：先確定橢圓、雙曲線的方程，求得P的坐標，利用等面積求得圓心的縱坐標，再利用點到直線的距離，可求圓心的橫坐標，從而可得結(jié)論．

解答：解：由題意，|PF₁|-|PF₂|=2m=2

2

，∴m=

2

∵橢圓C1：

x2

a2

+y2=1(a＞0)與雙曲線C2：

x2

m2

-y2=1(m＞0)有公共焦點，
∴a²-1=m²+1
∴a=2
∴橢圓方程為：

x2

4

+y2=1，雙曲線方程為

x2

2

-y2=1
聯(lián)立方程可得P（

2 6

3

，

3

3

）
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，圓心坐標為（x，r），則由等面積可得

1

2

×2

3

×

3

3

=

1

2

×(4+2

3

)r，
∴r=2-

3

∵PF₂的方程為y=

2 2 +3

5

（x-

3

）
∴由I到直線的距離等于2-

3

可得x=

2

∴圓心坐標為(

2

，2-

3

)．
故答案為：(

2

，2-

3

)

點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，考查三角形的內(nèi)切圓，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．