Question

設函數(shù)f(x)=

cos(πx-π)+1  x∈( 1 2 ，1) ∪(1， 3 2 ) a                      x=1

，若關于x的方程2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數(shù)解，則滿足題意的a的取值范圍是 （　　）

• A．（0，1）
• B．(0，

  3

  2

  )
• C．（1，2）
• D．(1，

  3

  2

  )∪(

  3

  2

  ，2)

Answer 1

分析：題中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0等價于f（x）=

3

2

或f（x）=a，原方程有5個不同實數(shù)解，即要求對應于f（x）等于某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解，結(jié)合圖象知，只有當f（x）=a時 有三個根，方能符合題意，由此即可求出結(jié)論．

解答：解：由題中方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0可得f（x）=

3

2

或f（x）=a
又此方程有且只有5個不同實數(shù)解，
 根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：如右圖
由于f（x）等于

3

2

時方程有兩個不同實數(shù)解，
由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根才能保證關于x的方程2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數(shù)解．
所以有：1＜a＜2    ①．
再根據(jù)2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒a≠

3

2

     ②
結(jié)合①②得：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．
故選D．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識，本題解題的關鍵是可以結(jié)合函數(shù)的圖象來確定解的個數(shù)，本題是一個綜合題目．