Question

【題目】橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)，長軸為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過左焦點(diǎn)的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線交曲線C于C，D兩點(diǎn)，凸四邊形ABCD為菱形，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由題意可得的值，計(jì)算出的值，可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意與菱形性質(zhì)可得，設(shè)，，則有，當(dāng)直線軸時(shí)，易知不成立，所以直線AB的斜率存在.

設(shè)直線AB的斜率為k，則，代入，可得，的值，計(jì)算出的值，代入，可得k的值，可得答案.

解：（1）由題意可知，，從而可得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)為.

（2）根據(jù)橢圓的對(duì)稱中心為原點(diǎn)可知，菱形ABCD的中心必為原點(diǎn)O，從而必有，

設(shè)，，則有，

當(dāng)直線軸時(shí)，易知不成立，所以直線AB的斜率存在.

設(shè)直線AB的斜率為k，則，代入，

整理得，

由韋達(dá)定理得，，

從而，

由得，解得.

直線AB的方程為或.