Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n．證明：當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜

1

n

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，把a(bǔ)₁和a₂代入即可求得a₃，a₄，先看當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，整理得a_2k+1-a_2k-1=1進(jìn)而可判斷數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列；n=2k（k∈N^*）時(shí)，整理得a_2k+2=2a_2k進(jìn)而可判斷數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，最后綜合可得答案．
（2）把（1）中求得a_n代入b_n中可知數(shù)列{b_n}是由等比和等差數(shù)列構(gòu)成，因而可用錯(cuò)位相減法求和，得到數(shù)列的求和公式S_n=2-

n+2

2n

．．要證明當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜

1

n

成立，只需證明當(dāng)n≥6時(shí)，

n(n+2)

2n

＜1成立．用數(shù)學(xué)歸納法，先看當(dāng)n=6時(shí)求得

n(n+2)

2n

＜1，再假設(shè)當(dāng)n=k（k≥6）時(shí)不等式成立，通過n=k+1時(shí)，等式亦成立，進(jìn)而證明結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)閍₁=1，a₂=2，
所以a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=[1+cos²

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，
因此a_2k-1=k．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．
所以數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，
因此a_2k=2^k．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
a_n=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

（2）由（1）知，b_n=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，
所以S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n^+

1，②
①-②得，

1

2

S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
所以S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
要證明當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜

1

n

成立，只需證明當(dāng)n≥6時(shí)，

n(n+2)

2n

＜1成立．
（1）當(dāng)n=6時(shí)，

6×(6+2)

26

=

48

64

=

3

4

＜1成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥6）時(shí)不等式成立，即

k(k+2)

2k

＜1．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

(k+1)(k+3)

2k+1

=

k(k+2)

2k

×

(k+1)(k+3)

2k(k+2)

＜

(k+1)(k+3)

(k+2)•2k

＜1．
由（1）、（2）所述，當(dāng)n≥6時(shí)，

n(n+2)

2n

＜1．
即當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列的遞推式常用來解決數(shù)列求通項(xiàng)公式等問題，有時(shí)要注意數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的不同．