Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AA₁=AB=AC=1．
（1）設M是棱BB₁的中點，求異面直線MC與AA₁所成的角的大小（用反三角函數值表示）；
（2）若M是棱BB₁上的任意一點，求四棱錐C₁-MAA₁B₁體積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由棱柱的性質知BB₁∥AA₁，故∠BMC為異面直線MC與AA₁所成的角，在△BCM中求得角的正切值，用反三角函數表示角；
（2）判定A₁C₁為四棱錐C₁-MAA₁B₁的高，求得底面面積的范圍，利用體積公式可求棱錐的體積的取值范圍．

解答：解：（1）∵BB₁∥AA₁，∴∠BMC為異面直線MC與AA₁所成的角，
∵，∠BAC=90°，AA₁=AB=AC=1．
∴BC=

2

，∵M是棱BB₁的中點，∴MB=

1

2

，
∴tan∠BMC=2

2

，∴∠BMC=arctan2

2

；
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴側棱AA₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥A₁B₁，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴四棱錐C₁-MAA₁B₁的高為1，
底面AMB₁A₁的面積為S，則

1

2

=S△AA1B1≤S≤S矩形ABB1A1=1，
∴四棱錐C₁-MAA₁B₁體積V的取值范圍為[

1

6

，

1

3

]．

點評：本題考查了異面直線所成的角及求法，考查了棱錐的體積計算，解題的關鍵是根據直棱柱的性質判定棱錐的高．