Question

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²－3x(a、b∈R)在點(diǎn)x＝－1處取得極大值為2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若對于區(qū)間[－2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x₁、x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤c，求實(shí)數(shù)c的最小值．

Answer 1

（1）f(x)＝x³－3x（2）4

(1)f′(x)＝3ax²＋2bx－3.
由題意，得即解得
所以f(x)＝x³－3x.
(2)令f′(x)＝0，即3x²－3＝0，得x＝±1.

x	－2	(－2，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，2)	2
f′(x)		＋		－		＋
f(x)	－2	增	極大值	減	極小值	增	2

因?yàn)閒(－1)＝2，f(1)＝－2，所以當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)_max＝2，f(x)_min＝－2.
則對于區(qū)間[－2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x₁、x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f(x)_max－f(x)_min|＝4，所以c≥4.所以c的最小值為4.