Question

已知函數(shù)f(x)=x²，g(x)＝2elnx(x>0)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1)求F(x)=f(x)－g(x)(x>0)的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（2)是否存在一次函數(shù)y=kx+b(k，bR)，使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx＋b對(duì)一切x>0恒成立？若存在，求出該一次函數(shù)的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞增．
；（2）存在一次函數(shù)，使得當(dāng)x＞0時(shí)，，且恒成立.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問，對(duì)求導(dǎo)，利用，解出單調(diào)區(qū)間，通過單調(diào)性判斷出最小值所在位置，并且求出即可；第二問，通過第一問的求解可以知道與圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，猜想所求的直線就是在公共點(diǎn)處的公切線，下面只需對(duì)猜想進(jìn)行證明即可，只需證明當(dāng)x＞0時(shí)，，且恒成立即可，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明，即可，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)行證明.
試題解析：(1) (x＞0)，
令F′(x)＝0，得(舍)，
∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′(x)＜0，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)有極小值，也是最小值，
即.
∴F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，最小值為0.（7分）
(2)由(1)知，f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴猜想：一次函數(shù)的圖象就是f(x)與g(x)的圖象在點(diǎn)處的公切線，
其方程為.
下面證明：當(dāng)x＞0時(shí)，，且恒成立．
∵，∴對(duì)x＞0恒成立．
又令，∴，
∴當(dāng)時(shí)，，G(x)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，G′(x)＞0，G(x)在上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)時(shí)，G(x)有極小值，也是最小值，
即，∴G(x)≥0，即恒成立．
故存在一次函數(shù)，使得當(dāng)x＞0時(shí)，，且恒成立.（14分）