Question

△ABC的AB邊在平面α內(nèi)，C在平面α外，AC和BC分別與面α成30°和45°的角，且面ABC與α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值為

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   1或

Answer 1

D
分析：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據(jù)三垂線定理，DE⊥AB，設(shè)CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，由勾股定理求出sinC=1；另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，由余弦定理，求出sinC．
解答：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據(jù)三垂線定理，DE⊥AB，設(shè)CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，
AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，根據(jù)勾股定理，AE=，BE=，AB=AE+BE=h，
根據(jù)勾股定理逆定理，AB²=BC²+AC²，
（h）²=（h）²+（2h）²，
∠C=90°，sinC=1，
另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，
根據(jù)余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（h）²=（2h）²+（h）²-2×2h×hcosC，
cosC=，
sinC==，
故角ACB的正弦值是1或．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何的綜合問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意勾股定理和余弦定理的靈活運(yùn)用．