Question

已知兩定點(diǎn)F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0）滿足條件|PF₂|-|PF₁|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)|AB|=6

3

時(shí)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的定義，求得曲線E的方程，與直線方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，結(jié)合韋達(dá)定理，可求k的取值范圍；
（2）先表示出|AB|，利用|AB|=6

3

，求出直線AB的方程，即可求△AOB的面積．

解答：解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且c=

2

，a=1，所以b=1，故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）
設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，有

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 x1•x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1．
（2）∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

=

1+k2

( -2k 1-k2 )2

-4×

-2

1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

依題意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，整理后得28k⁴-55k²+25=0．
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

．
故直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0
∴S_△AOB=

1

2

×

2

3

×6

3

=2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)計(jì)算，考查三角形的面積，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．