Question

設(shè)，.
（Ⅰ）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試判斷與的大小.

Answer 1

（Ⅰ）在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。在處取得極小值，函數(shù)無(wú)極大值
（Ⅱ）>

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間和極值的問題。先求解定義域和導(dǎo)數(shù)，然后解不等式得到結(jié)論。
（2）知，的極小值
于是由上表知，對(duì)一切，恒有.，從而得到單調(diào)性，證明不等式。
（Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，
故，
于是，
列表如下：

故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，
所以，在處取得極小值，函數(shù)無(wú)極大值.
（Ⅱ）由知，的極小值.
于是由上表知，對(duì)一切，恒有.
從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加.
所以當(dāng)時(shí)，，即.
故當(dāng)時(shí)，恒有.又.
所以> .