Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)過點(diǎn)A(0，

2

)且它的離心率為

3

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）已知動直線l過點(diǎn)Q（4，0），交軌跡C₂于R、S兩點(diǎn)．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）因?yàn)闄E圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A(0，

2

)，所以b=

2

，b²=2，
又因?yàn)闄E圓C₁的離心率e=

3

3

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，解得a²=3．
所以橢圓C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）因?yàn)榫�段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，
所以|MP|=|MF₂|，即動點(diǎn)M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F₂（1，0）的距離，
所以動點(diǎn)M的軌跡C₂是以l₁為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，
所以點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²=4x；
（3）設(shè)R（x₁，y₁），假設(shè)存在直線m：x=t滿足題意，則圓心O1(

x1+4

2

，

y1

2

)，
過O₁作直線x=t的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓O₁的一個交點(diǎn)為G．
可得：|EG|2=|O1G|2-|O1E|2=|O1Q|2-|O1E|2，
即|EG|2=|O1Q|2-|O1E|2=

(x1-4)2+ y 21

4

-(

x1+4

2

-t)2
=

1

4

y

21

+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+t(x1+4)-t2
=x1-4x1+t(x1+4)-t2=(t-3)x1+4t-t2，
當(dāng)t=3時，|EG|²=3，此時直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長恒為定值2

3

．
因此存在直線m：x=3滿足題意．