（本題滿分16分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分6分．
某同學(xué)將命題“在等差數(shù)列
中，若
，則有
（
）”改寫(xiě)成：“在等差數(shù)列中，若
，則有
（）”，進(jìn)而猜想：“在等差數(shù)列中，若
，則有
（）.”
（1）請(qǐng)你判斷以上同學(xué)的猜想是否正確，并說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)你提出一個(gè)更一般的命題，使得上面這位同學(xué)猜想的命題是你所提出命題的特例，并給予證明.
（3）請(qǐng)類比（2）中所提出的命題，對(duì)于等比數(shù)列
，請(qǐng)你寫(xiě)出相應(yīng)的命題，并給予證明.
解：（1）命題“在等差數(shù)列
中，若
，則有
（
）”正確.
證明：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為
，公差為
，由得:
=
，所以命題成立. （4分）
（2）解法一：在等差數(shù)列中，若
，則有
（
）.顯然，當(dāng)
時(shí)為以上某同學(xué)的猜想. （7分）
證明：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由得
，所以命題成立. （10分）
（3）解法一：在等比數(shù)列
中，
若，則有
（）.（13分）
證明：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為
，公比為
，由（）得，
，所以命題成立.（16分）
（2）解法二：在等差數(shù)列中，若
，且
則有
（
）.
顯然，當(dāng)
時(shí)為某同學(xué)的猜想（7分）
證明：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由
，且
得
=
=
=
，所以命題成立。 （10分）
（3）解法二：在等比數(shù)列中，若，且
，則有
（
）. （13分）
證明：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由
，且
得，
=
=
，所以命題成立. （16分）
得到以下一般命題不得分（
）：
（1）在等差數(shù)列中，若
，則有
.
類比：在等比數(shù)列中，若，則有
.
（2）在等差數(shù)列中，若
，則有
.
類比：在等比數(shù)列中，若
，則有
.
（3）在等差數(shù)列中若
,
,則有
.
類比：在等比數(shù)列中，若
，則有
.
（4）在等差數(shù)列中，若
，
，則有
.
類比：在等比數(shù)列中，若，，則有
.
名校課堂系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
（本題滿分16分，第一小題8分；第二小題8分）
已知
是
軸正方向的單位向量，設(shè)
=
, 
=
,且滿足
.
求點(diǎn)
的軌跡方程；
過(guò)點(diǎn)
的直線
交上述軌跡于
兩點(diǎn),且
,求直線的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年上海市高三第三次月考試題文科數(shù)學(xué) 題型：解答題
． (本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)
已知公差大于零的等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且滿足
，
，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列
是等差數(shù)列，且
，求非零常數(shù)
；
（3）若（2）中的的前項(xiàng)和為
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海市長(zhǎng)寧區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 題型：解答題
（本題滿分16分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（2）小題6分）
在平行四邊形
中，已知過(guò)點(diǎn)
的直線與線段
分別相交于點(diǎn)
。若
。
（1）求證：
與
的關(guān)系為
；
（2）設(shè)
，定義在
上的偶函數(shù)
，當(dāng)
時(shí)
，且函數(shù)圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，求證：
，并求
時(shí)的解析式；
（3）在（2）的條件下，不等式
在
上恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年上海市徐匯區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷（理） 題型：解答題
（本題滿分16分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題6分）
設(shè)
、
為坐標(biāo)平面
上的點(diǎn)，直線
（
為坐標(biāo)原點(diǎn)）與拋物線
交于點(diǎn)
(異于).
（1）
若對(duì)任意
，點(diǎn)在拋物線
上，試問(wèn)當(dāng)
為何值時(shí)，點(diǎn)
在某一圓上，并求出該圓方程
；
（2）
若點(diǎn)
在橢圓
上，試問(wèn)：點(diǎn)能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說(shuō)明理由；
（3）
對(duì)（1）中點(diǎn)所在圓方程，設(shè)
、
是圓上兩點(diǎn)，且滿足
，試問(wèn)：是否存在一個(gè)定圓
，使直線
恒與圓相切.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年上海市徐匯區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷（文） 題型：解答題
（本題滿分16分，第一小題8分；第二小題8分）
已知
是
軸正方向的單位向量，設(shè)
=
, 
=
,且滿足
.
(1)
求點(diǎn)
的軌跡方程；
(2)
過(guò)點(diǎn)
的直線
交上述軌跡于
兩點(diǎn),且
,求直線的方程.
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