Question

【題目】已知菱形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于一點 O，∠A=60°，將△BDC 沿著 BD 折起得△BDC'，連結(jié) AC'．
（Ⅰ）求證：平面 AOC'⊥平面 ABD；
（Ⅱ）若點 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，∴BD⊥面 AOC'，

又BD平面 ABD，∴平面 AOC'⊥平面 ABD．

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，令AB=a，則A（ ，0，0）．

B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），C′（ ），

設面ADC'的法向量為

， ，

由 可取

∴直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值為：

【解析】（Ⅰ）只需證明C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，BD⊥面 AOC'，

即可得平面 AOC'⊥平面 ABD．（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，令AB=a，則A（ ，0，0）．

B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），C′（ ），利用向量法求解．

【考點精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．