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        1. 如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn),BB1⊥平面ABC
          (Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
          (Ⅱ)求二面角A-A1D-B的余弦值;
          (Ⅲ)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.
          分析:(I)取BC中點(diǎn)O,連接AO. 可由面面垂直的性質(zhì)得到AO⊥平面B1C1CB,令B1C1中點(diǎn)為O1,以0為原點(diǎn),OB,OO1,OA的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出向量
          AB1
          ,
          BD
          ,
          BA1
          的坐標(biāo),用向量法可得
          AB1
          BD
          ,
          AB1
          BA1
          ,進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到AB1⊥平面A1BD;
          (II)求出平面AA1D的法向量
          m
          ,結(jié)合(I)中結(jié)論
          AB1
          為平面A1BD的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角A-A1D-B的余弦值;
          (Ⅲ)由(I)中
          AB1
          為平面A1BD的法向量,求出向量
          BC
          的坐標(biāo),代入d=
          |
          BC
          AB1
          |
          |
          AB1
          |
          ,可得點(diǎn)C到平面A1BD的距離.
          解答:解:(I)取BC中點(diǎn)O,連接AO. 
          ∴△ABC為正三角形,
          ∴AO⊥BC.
          ∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面B1C1CB,
          ∴AO⊥平面B1C1CB,
          取B1C1中點(diǎn)O1,以0為原點(diǎn),OB,OO1,OA的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
          則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,
          3
          ),A(0,0,
          3
          ),B1(1,2,0),
          AB1
          =(1,2,-
          3
          ),
          BD
          =(-2,1,0),
          BA1
          =(-1,2,
          3
          ).
          AB1
          BD
          =-2+2=0,
          AB1
          BA1
          =-1+4-3=0
          AB1
          BD
          ,
          AB1
          BA1

          ∴AB1⊥平面A1BD;
          (Ⅱ)設(shè)平面AA1D的法向量為
          m
          =(x,y,z).
          AD
          =(-1,1,-
          3
          ),
          AA1
          =(0,2,0).
          m
          AD
          m
          AA1
          ,
          m
          AD
          =0
          m
          AA1
          =0
          ,即
          -x+y-
          3
          z=0
          2y=0

          令z=1得
          m
          =(-
          3
          ,0,1)
          由(I)知AB1⊥平面A1BD,
          AB1
          為平面A1BD的法向量.
          cos<
          n
          ,
          AB1
          >=
          -
          3
          +0-
          3
          2•2
          2
          =-
          6
          4

          ∴二面角A-A1D-B的余弦值為
          6
          4

          (3)由(2),
          AB1
          為平面A1BD的法向量,
          又∵
          BC
          =(-2,0,0),
          AB1
          =(1,2,-
          3
          ),.
          ∴點(diǎn)C到平面A1BD的距離d=
          |
          BC
          AB1
          |
          |
          AB1
          |
          =
          |-2|
          2
          2
          =
          2
          2
          點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及其求法,直線與平面垂直的判定,點(diǎn)到平面的距離,其中建立空間坐標(biāo)系,將空間線面關(guān)系,夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是解答的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,AC=BC=CC1=1,則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
           
          精英家教網(wǎng)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn),AB=AC.
          (1)證明:DE⊥平面BCC1
          (2)設(shè)B1C與平面BCD所成的角的大小為30°,求二面角A-BD-C.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•黑龍江)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=
          12
          AA1,D是棱AA1的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:平面BDC1⊥平面BDC
          (Ⅱ)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為正三角形,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,D是BC中點(diǎn),且AA1=AB
          (1)證明:AD⊥BC1
          (2)證明:A1C∥平面AB1D.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•大連二模)如圖,三棱柱ABC-A′B′C′,cc′=
          2
          ,BC′=
          2
          ,BC=2,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC′B′,E、F分別為棱AB、CC′的中點(diǎn).
          (I)求證:EF∥平面A′BC′;
          (Ⅱ)若AC≤
          2
          ,且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
          7
          3
          ,求二面角C-AA'-B的大。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案