Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知 2S△ABC=

3

 

BA

 • 

BC

．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=2，求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由條件求得 2×

1

2

ac•sinB=

3

•ac•cosB，解得tanB=

3

，可得 B的值．
（Ⅱ）若b=2，則由余弦定理可得 b²=4=（a+c）²-3ac，再由基本不等式可得a+c≤4，結(jié)合a+c＞b=2 求得a+c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2S△ABC=

3

 

BA

 • 

BC

，∴2×

1

2

ac•sinB=

3

•ac•cosB，解得tanB=

3

，∴B=

π

3

．
（Ⅱ）若b=2，則由余弦定理可得 b²=4=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3•(

a+c

2

)2=

(a+c)2

4

，
∴a+c≤4 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立．
再由a+c＞b=2 可得，a+c的范圍為（2，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．