Question

（2010•瀘州二模）如圖，正六邊形ABCDEF中，下列命題正確的是（　�。�

• A．

  AC

  ?

  AD

  =

  AD

  ?

  AB

• B．

  AD

  =2

  AB

  +

  AF

• C．

  AC

  +

  AF

  =2

  BC

• D．(

  AD

  ?

  AF

  )

  EF

  =(

  EF

  ?

  AF

  )

  AD

Answer 1

分析：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，可得A、B、C、D、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算法則和數(shù)量積的運(yùn)算公式，對(duì)于各個(gè)選項(xiàng)的結(jié)論依次加以驗(yàn)證，可得A、B、D各項(xiàng)都不正確，只有C項(xiàng)正確．

解答：解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，由正六邊形的性質(zhì)可得：A（0，0），B（2，0），
C（3，

3

），D（2，2

3

），E（0，2

3

），F(xiàn)（-1，

3

）．
對(duì)于A，

AC

=（3，

3

），

AD

=（2，2

3

），

AB

=（2，0），
可得

AC

•

AD

=3×2+

3

×2

3

=12，

AD

•

AB

=2×2=4，
故

AC

•

AD

≠

AD

•

AB

，得A不正確；
對(duì)于B，

AF

=（-1，

3

），
可得2

AB

+

AF

=2（2，0）+（-1，

3

）=（3，

3

），
而

AD

=（2，2

3

），所以

AD

≠2

AB

+

AF

，得B不正確；
對(duì)于C，

AC

+

AF

=（3，

3

）+（-1，

3

）=（2，2

3

），
而

BC

=

AC

-

AB

=（3，

3

）-（2，0）=（1，

3

），
所以2

BC

=（2，2

3

），得

AC

+

AF

=2

BC

，故C正確；
對(duì)于D，

AD

•

AF

=2×（-1）+2

3

×

3

=4，得(

AD

•

AF

)•

EF

=4

EF

=4（

AF

-

AE

）=（-4，-4

3

），

EF

•

AF

=-1×（-1）+（-

3

）×

3

=-2，得（

EF

•

AF

）•

AD

=-2

AD

=（4，4

3

），
因此，(

AD

•

AF

)•

EF

≠（

EF

•

AF

）•

AD

，故D不正確．
綜上所述，只有C項(xiàng)正確
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出正六邊形中的向量，判斷幾個(gè)向量等式正確與否．著重考查了平面向量的加減法則、向量的數(shù)量積公式和向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．