Question

下列命題：
①|(zhì)

a

|+|

b

|=|

a

+

b

|是

a

，

b

共線的充要條件；
②空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C滿(mǎn)足

OP

=2

OA

+3

OB

-4

OC

，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；
③若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直．
其中正確的命題的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：①|(zhì)

a

|+|

b

|=|

a

+

b

|可推得

a

，

b

共線，但

a

，

b

共線，不能推出|

a

|+|

b

|=|

a

+

b

|；②原命題可化為：

BP

=2

CA

+2

CB

，可得

BP

，

CA

，

CB

共面，進(jìn)而可得四點(diǎn)共面；③可判其逆否命題正確．

解答：解：①|(zhì)

a

|+|

b

|=|

a

+

b

|可推得

a

與

b

同向或反向，即

a

，

b

共線，
但

a

，

b

共線，若反向且長(zhǎng)度相等，則不能推出|

a

|+|

b

|=|

a

+

b

|，故錯(cuò)誤；
②空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C滿(mǎn)足

OP

=2

OA

+3

OB

-4

OC

，
則

OP

-

OB

=2

OA

-2

OC

+2

OB

-2

OC

，即

BP

=2

CA

+2

CB

故向量

BP

，

CA

，

CB

共面，即P，A，B，C四點(diǎn)共面，故正確；
③若兩個(gè)平面垂直，則它們的法向量一定垂直，由原命題和逆否命題的關(guān)系可得
若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直，故正確
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的判斷，涉及向量的知識(shí)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．