Question

【題目】P為橢圓 + =1上一點，F(xiàn)1 ， F2為左右焦點，若∠F1PF2=60°．
（1）求△F1PF2的面積；
（2）求P點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓 + =1可知焦點在x軸上，a=5，b=3，c= =4，

焦點坐標為：F1（﹣，4，0），F(xiàn)2（4，0），

設丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，則m+n=2a=10，

由余弦定理可知：m2+n2﹣2mncos60°=（2c）2，

∴（m+n）2﹣2mn﹣2mncos60°=2c2，即100﹣2mn﹣mn=64，

則mn=12，

△F1PF2的面積S，S= mnsin60°= ×12× =3 ，

∴△F1PF2的面積3 ；

（2）解：設P（x，y），由△F1PF2的面積S，S= ×2c×丨y丨=4丨y丨，

∴4丨y丨=3 ，

則丨y丨= ，y=± ，將y=± 帶入橢圓方程解得x=± ，

∴這樣的P點有四個，P點的坐標（ ， ），（﹣ ， ），

（ ，﹣ ），（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）由橢圓的方程求得焦點坐標，根據余弦定理求得丨PF1丨丨PF2丨，則由三角形面積公式可知：S= 丨PF1丨丨PF2丨sin60°，即可求得△F1PF2的面積；（2）由焦點三角形的面積公式可知：S= ×2c×丨y丨=4丨y丨，由（1）可知4丨y丨=3 ，即可求得y的值，代入橢圓方程，即可求得x的值，求得P點的坐標．