Question

現(xiàn)在汽車是很給力的，汽車生產(chǎn)商對(duì)某款汽車的維修費(fèi)進(jìn)行電腦模擬實(shí)驗(yàn)，分別以汽車年數(shù)n和前n年累計(jì)維修費(fèi)s_n（萬(wàn)元）為橫、縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)（n，s_n）在函數(shù)y=ax²+bx（a≠0）的圖象上，其中圖象上兩點(diǎn)A（5，1.05），B（10，4.1）．
（1）求出累計(jì)維修費(fèi)s_n關(guān)于使用年數(shù)n的表達(dá)式，并求出第n年的維修費(fèi)；
（2）汽車開(kāi)始使用后每年需維修，按國(guó)家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，出售后前兩年作為保修時(shí)間，此時(shí)間段由產(chǎn)家承擔(dān)維修費(fèi)，保修期過(guò)后，汽車維修費(fèi)有車主承擔(dān)．若某人以9.18萬(wàn)元購(gòu)買這款汽車，求年平均耗資費(fèi)的最小值．（耗資費(fèi)=購(gòu)買費(fèi)+車主承擔(dān)的維修費(fèi)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=ax²+bx（a≠0）的圖象上兩點(diǎn)A（5，1.05），B（10，4.1），可求函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而可得維修費(fèi)S_n關(guān)于使用年數(shù)n的表達(dá)式，從而可求出第n年的維修費(fèi)；
（2）根據(jù)耗資費(fèi)=購(gòu)買費(fèi)+車主承擔(dān)的維修費(fèi)，可得年平均耗資費(fèi)，利用基本不等式，可求其最小值．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)y=ax²+bx（a≠0）的圖象上兩點(diǎn)A（5，1.05），B（10，4.1），
∴1.05=25a+5b，4.1=100a+10b
∴a=

1

25

，b=

1

100

∵點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=ax²+bx（a≠0）的圖象上，
∴S_n=

1

25

n2+

1

100

n
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

2

25

n-

3

100

，n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

20

也滿足上式
∴第n年的維修費(fèi)為a_n=

2

25

n-

3

100

；
（2）∵耗資費(fèi)=購(gòu)買費(fèi)+車主承擔(dān)的維修費(fèi)
∴年平均耗資費(fèi)為y=

9.18+a3+a4+…+an

n

=0.04n+

9

n

+0.01≥1.21（萬(wàn)元）
當(dāng)且僅當(dāng)n=15時(shí)取等號(hào)
∴年平均耗資費(fèi)的最小值為1.21萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的運(yùn)用，考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)關(guān)系式．