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        1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+8x+3.
          (1)若函數(shù)f(x)=ax2+8x+3的圖象恒在直線y=5的下方,求實數(shù)a的范圍;
          (2)對于給定的負數(shù)a,有一個最大的正數(shù)l(a),使得在整個區(qū)間[0,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5都成立.問a為何值時l(a)最大?求出這個最大的l(a),證明你的結(jié)論.
          分析:(1)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3的圖象恒在直線y=5的下方,等價于f(x)max<5,配方后可求f(x)的最大值;
          (2)當3-
          16
          a
          >5,3-
          16
          a
          ≤5兩種情況進行討論:作出圖象,借助圖象可轉(zhuǎn)化為解方程|f(x)|=5,根據(jù)根的情況可求;
          解答:解:(1)將f(x)配方得:f(x)=a(x+
          4
          a
          2+3-
          16
          a
          ,
          由于a<0,于是f(x)max=3-
          16
          a

          因為函數(shù)f(x)=ax2+8x+3的圖象恒在直線y=5的下方,所以3-
          16
          a
          <5,解得a<-8;
          (2)分①當3-
          16
          a
          >5,即-8<a<0時,如左圖所示:
          有l(wèi)(a)∈(0,-
          4
          a
          ),且f(l(a))=5.
          令ax2+8x+3=5,于是方程有兩不等實數(shù)根.
          由于函數(shù)y=f(x)=ax2+8x+3的圖象關(guān)于直線x=-
          4
          a
          對稱,
          故方程的一根大于-
          4
          a
          ,另一根小于-
          4
          a
          ,l(a)只能取方程ax2+8x+3=5的較小根,
          于是l(a)=
          -4+
          16+2a
          a
          =
          2
          16+2a
          +4
          2
          4
          =
          1
          2

          ②當3-
          16
          a
          ≤5,即a≤-8時,如右圖(乙),
          有l(wèi)(a)>-
          4
          a
          ,且f(l(a))=-5.
          令ax2+8x+3=-5,于是方程有兩不等實數(shù)根.
          且方程的一根大于-
          4
          a
          ,另一根小于-
          4
          a
          ,l(a)必須取方程ax2+8x+3=-5的較大根,
          于是l(a)=
          -4-
          16-8a
          a
          =
          4
          4-2a
          -2
          4
          4-2(-8)
          -2
          =
          5
          +1
          2
          ,當且僅當a=-8時,取“=”.
          5
          +1
          2
          1
          2
          ,
          故可取l(a)=
          5
          +1
          2
          為最大,此時a=-8.
          點評:(1)對于二次函數(shù)與二次方程及二次不等式相結(jié)合的問題,常常畫出示意圖,利用圖形的直觀性進行問題的等價變形,直至問題的最終解決;(2)容易誤認為第(1)種情形下方程的最小根為
          -4-
          16+2a
          a
          ,第(2)種情形下方程的最大根為
          -4+
          16-8a
          a
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
          (I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
          (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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          (Ⅰ)求f(x)的表達式;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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          (1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
          (2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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          (2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
          f(x)x-1

          (1)求a的值;
          (2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
          (3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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          (1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
          (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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