Question

（2013•海淀區(qū)一模）已知圓M：（x-

2

）²+y²=r²（r＞0）．若橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若存在直線l：y=kx，使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓右頂點(diǎn)為圓心可得a值，進(jìn)而由離心率可得c值，根據(jù)平方關(guān)系可得b值；
（II）由點(diǎn)G在線段AB上，且|AG|=|BH|及對稱性知點(diǎn)H不在線段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式可得|AB|，在圓中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根據(jù)|AB|=|GH|得r，k的方程，分離出r后按k是否為0進(jìn)行討論，借助基本函數(shù)的范圍即可求得r范圍；

解答：解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，
由橢圓右頂點(diǎn)為圓M的圓心（

2

，0），得a=

2

，
又

c

a

=

2

2

，所以c=1，b=1．
所以橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，則

y=kx x2+2y2-2=0

，
所以（1+2k²）x²-2=0，則x₁+x₂=0，x1x2=-

2

1+2k2

，
所以|AB|=

(1+k2) 8 1+2k2

=

8(1+k2) 1+2k2

，
點(diǎn)M（

2

，0）到直線l的距離d=

| 2 k|

1+k2

，
則|GH|=2

r2- 2k2 1+k2

，
顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對稱性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾，

所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，
所以

8(1+k2)

1+2k2

=4(r2-

2k2

1+k2

)，
r2=

2k2

1+k2

+

2(1+k2)

1+2k2

=

2(3k4+3k2+1)

2k4+3k2+1

=2(1+

k4

2k4+3k2+1

)，
當(dāng)k=0時(shí)，r=

2

，
當(dāng)k≠0時(shí)，r2=2(1+

1

1 k4 + 3 k2 +2

)＜2（1+

1

2

）=3，
又顯然r2=2(1+

1

1 k4 + 3 k2 +2

)＞2，所以

2

＜r＜

3

，
綜上，

2

≤r＜

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，弦長公式、韋達(dá)定理是解決該類問題的基礎(chǔ)知識(shí)，要熟練掌握．