Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為和S_n，點(diǎn)(n，

Sn

n

)在直線(xiàn)y=

1

2

x+

11

2

上．?dāng)?shù)列{b_n}滿(mǎn)足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)，且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)f(n)=

an(n=2l-1，l∈N*) bn(n=2l，l∈N*)

，問(wèn)是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件得Sn=

1

2

n2+

11

2

n，根據(jù)前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出當(dāng)n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，再由a₁=S_l=6，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．利用等差中項(xiàng)證明{b_n}為等差數(shù)列，求出公差和第三項(xiàng)，從而求得{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）分m為奇數(shù)和m為偶數(shù)，分別利用條件f（m+15）=5f（m）求出m的值，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即Sn=

1

2

n2+

11

2

n．…（1分）
故當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-sn-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．…（3分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S_l=6，所以，a_n=n+5（n∈N^*）．    …（4分）
又b_n+1-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+l=b_n+1-b_n（n∈N^*），所以{b_n}為等差數(shù)列，…（5分）
于是

9(b3+b7)

2

=153．而b₃=11，故b7=23，d=

23-11

7-3

．…（7分）
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．    …（8分）
（Ⅱ）f(n)=

n+5    (n=2l-1，l∈N*) 3n+2    (n=2l，l∈N*)

…（9分）
①當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m+15為偶數(shù)．
此時(shí)f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11．    …（1分）
②當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+15為奇數(shù)，
此時(shí)f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以m+20=15m+10，m=

5

7

∉N*（舍去）．    …（13分）
綜上，存在唯一正整數(shù)m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．