Question

給出下列命題：
命題1：點(diǎn)（1，1）是直線(xiàn)y=x與雙曲線(xiàn)y=

1

x

的一個(gè)交點(diǎn)；
命題2：點(diǎn)（2，4）是直線(xiàn)y=2x與雙曲線(xiàn)y=

8

x

的一個(gè)交點(diǎn)；
命題3：點(diǎn)（3，9）是直線(xiàn)y=3x與雙曲線(xiàn)y=

27

x

的一個(gè)交點(diǎn)；
…．
請(qǐng)觀察上面命題，猜想出命題n（n是正整數(shù)）為：

 

．

Answer 1

分析：由已知的命題1，命題2，命題3要猜想出命題n，首先要發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)或不變的內(nèi)容：敘述的都是點(diǎn)（x，y）是直線(xiàn)y=kx與雙曲線(xiàn) y=

m

x

的交點(diǎn)，然后要找到它們變化的內(nèi)容及變化的規(guī)律：這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在變，其中橫坐標(biāo)x=n，縱坐標(biāo)y=n²；直線(xiàn)的解析式在變，其中k=n，雙曲線(xiàn)的解析式也在變，其中m=n³．從而寫(xiě)出命題n．

解答：解：觀察上面命題，猜想出命題n（n是正整數(shù)）為：
命題n：點(diǎn)（n，n²）是直線(xiàn)y=nx與雙曲線(xiàn)y=

n3

x

的一個(gè)交點(diǎn)（n是正整數(shù)）；
證明：把

x=n y=n2

代入y=nx，左邊=n²，右邊=n•n=n²，
∵左邊=右邊，
∴點(diǎn)（n，n²）在直線(xiàn)上．
同理可證：點(diǎn)（n，n²）在雙曲線(xiàn)上，
∴點(diǎn)（n，n²）是直線(xiàn)y=nx與雙曲線(xiàn)y=

n3

x

的一個(gè)交點(diǎn)，命題正確．
故答案為：點(diǎn)（n，n²）是直線(xiàn)y=nx與雙曲線(xiàn)y=

n3

x

的一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于這類(lèi)尋找規(guī)律的題目，首先要仔細(xì)研究已知條件，找到它們的共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它們變化的內(nèi)容及變化的規(guī)律，才能由特殊推到一般，從而得到正確結(jié)論．注意總結(jié)出的一般規(guī)律應(yīng)滿(mǎn)足題目給出的特殊子，此法也常用來(lái)檢驗(yàn)總結(jié)出的一般規(guī)律是否正確．本題考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．