Question

已知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)．當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于4+4

3

，則球O的體積等于（　　）

• A．

  4 2 π

  3

• B．

  8 2 π

  3

• C．

  16 2 π

  3

• D．

  32 2 π

  3

Answer 1

分析：當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐，根據(jù)該四棱錐的表面積等于4+4

3

，確定該四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高，進(jìn)而可求球的半徑為R，從而可求球的體積．

解答：解：由題意，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐，
∵該四棱錐的表面積等于4+4

3

，

設(shè)球O的半徑為R，則AC=2R，SO=R，如圖，
∴該四棱錐的底面邊長(zhǎng)為 AB=

2

R，
則有(

2

R)2+4×

1

2

×

2

R×

( 2 R 2 )2+R2

=4+4

3

，

∴R=

2

∴球O的體積是

4

3

πR3=

8 2 π

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球內(nèi)接多面體，球的體積，解題的關(guān)鍵是確定球的半徑，再利用公式求解．