Question

21.在XOY平面上有一點(diǎn)列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n），…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)P_n位于函數(shù)y＝2000（）^x（0＜a＜10＝的圖象上，且點(diǎn)P_n，點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1，0）構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形.

（1）求點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式；

（2）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，以b_n，b_n－1，b_n－2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；

 

（3）設(shè)B_n=b₁b₂…b_n（nN）.若a取（2）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).

Answer 1

21.解：

（1）由題意，a_n=n+，

∴b_n=.　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（2）∵函數(shù)y=（0<a<10）遞減，

∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，有b_n>b_n+1>b_n+2.

則以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是b_n+2+b_n+1>b_n，

 

即－1>0.　　　　　　　　　　　　　　　　

解得a<－5（1+）或a>5（），

∴5（－1）<a<10.　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（3）∵5（－1）<a<10，

 

∴a=7，b_n=.　                           

 

數(shù)列｛b_n｝是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2，B_n=b_nB_n－1.

 

于是當(dāng)b_n≥1時(shí)，B_n≥B_n－1，當(dāng)b_n＜1時(shí)，B_n＜B_n－1.

 

因此，數(shù)列｛B_n｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿(mǎn)足不等式b_n≥1且b_n－1<1.

 

由b_n=≥1，得n≤20.8.

 

∴n=20.