Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，圓O的方程為x²+y²=1．
（1）若直線l與圓O切于第一象限且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，當(dāng)|AB|最小時(shí)，求直線l的方程；
（2）若A，B是圓O與x軸的交點(diǎn)，C是圓在直徑AB的上方的任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)作CD⊥AB交圓O于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)C在圓O上移動(dòng)時(shí)，求證：∠OCD的角平分線經(jīng)過圓O上的一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切，建立方程，利用基本不等式求出|AB|的最小值，從而可求直線l的方程；
（2）設(shè)∠OCD的角平分線為CP，交圓于P，證明OP⊥AB，即可求得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，則

1

1 a2 + 1 b2

=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=1，∴ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2

時(shí)，取等號(hào)）
∴|AB|=

a2+b2

≥

2ab

≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2

時(shí)，取等號(hào)）
即|AB|最小為2，此時(shí)直線l的方程為x+y-

2

=0；
（2）證明：設(shè)∠OCD的角平分線為CP，交圓于P，則∠OCP=∠DCP
因?yàn)镺C、OP為圓的半徑，所以∠OCP=∠OPC，所以∠DCP=∠OPC
所以CD∥OP
因?yàn)镃D⊥AB，A、B為定點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AB
所以P為定點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，-1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，考查直線恒過定點(diǎn)，屬于中檔題．