Question

已知函數f(x)=a·lnx+b·x²在點(1，f(1))處的切線方程為x-y-1=0，
（1）求f(x)的表達式；
（2）若f(x)滿足f(x)≥g(x)恒成立，則稱f(x)是g(x)的一個“上界函數”，如果函數f(x)為g(x)=-lnx（t為實數）的一個“上界函數”，求t的取值范圍；
（3）當m＞0時，討論在區(qū)間(0，2)上極值點的個數。

Answer 1

解：（1）當x=1時，y=0，代入得b=0，
所以f(x)=alnx，，
由切線方程知f′(1)=0，所以a=1，故f(x)=lnx。
（2）f(x)≥g(x)恒成立，即恒成立，
因為x＞0，所以t≤2xlnx，
令h(x)=2xlnx，，
當時，h′(x)＜0，所以h(x)在為減函數；
當時，h′(x)＞0，所以h(x)在為增函數；
h(x)的最小值為，故．
（3）由已知，
，
又x＞0，由F′(x)=0得，，，
①當時，得m=1，F′(x)≥0，F(x)在（0，2）為增函數，無極值點；
②當且時，得且m≠1，F(x)有2個極值點；
③當或時，得或m≥2時，F(x)有1個極值點；
綜上，當m=1時，函數F(x)在（0，2）無極值點；當或m≥2時，F(x)有1個極值點；
當且m≠1時，F(x)有2個極值點．