Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2bcosA=ccosA+acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，S_△ABC=

3 3

4

，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，根據(jù)sinB不為0求出cosA的值，由A的范圍即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用三角形的面積公式列出關系式，將sinA與已知面積代入求出bc的值，再由余弦定理列出關系式，將cosA，a的值代入求出b²+c²的值，聯(lián)立求出b與c的值，即可確定出三角形的形狀．

解答：解：（1）由2bcosA=ccosA+acosC及正弦定理，得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，即sinB（2cosA-1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（2）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

4

，即

1

2

bcsin

π

3

=

3 3

4

，
∴bc=3，①
∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

3

，A=

π

3

，
∴b²+c²=6，②
由①②得b=c=

3

，
則△ABC為等邊三角形．

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．