Question

如圖，ABCD為正方形，P是對角線DB上一點，PECF為矩形，
求證：①PA=EF；②PA⊥EF．

Answer 1

分析：①利用AD⊥DC建立坐標系，根據(jù)題意表示出正方形ABCD頂點的坐標，再設DP=r并利用PECF為矩形，求出點E、F的坐標，由向量的坐標表示求出

PA

，

EF

的坐標，根據(jù)向量的模求法證明PA=EF；②利用①求出

PA

，

EF

的坐標，利用數(shù)量積坐標運算求出

PA

•

EF

=0，即證出PA⊥EF．

解答：解：以D為原點

DC

為x軸正方向建立直角坐標系，
則A（0，1），C：（1，0）B：（1，1），
①設DP=r，則P(

2

2

r，

2

2

r)，∴

PA

=(-

2

2

r，1-

2

2

r)
∵E點為(1，

2

2

r)，F(xiàn)：(

2

2

r，0)
∴

EF

=(

2

2

r-1，-

2

2

r)
∴|

PA

|=

(- 2 2 r)2+(1- 2 2 r)2

，|

EF

|=

(1- 2 2 r)2+(- 2 2 r)2

∴PA=EF，
②由①得，

PA

•

EF

=(-

2

2

r，1-

2

2

r)• (

2

2

r-1，-

2

2

r)
=-

2

2

r(

2

2

r-1)=0，
∴

PA

⊥

EF

．

點評：本題考查了利用坐標法證明幾何中的問題，即利用圖形的特點建立適當?shù)淖鴺讼担�求出每個點的坐標，再利用向量的坐標運算求出對應向量的坐標，利用向量的公式以及運算進行證明或求值．