Question

已知A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是拋物線y=2x²上兩個(gè)不同點(diǎn)，若x₁x₂=-

1

2

，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，試求m的值．

Answer 1

分析：由已知先求出k_AB，然后由AB的中點(diǎn)C（x₀，y₀）在直線y=x+m上，可設(shè)直線AB的方程為y=-x+n，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求解n，然后再由中的在在直線y=x+m上，可求m

解答：解：由已知得k_AB=-1，且AB的中點(diǎn)C（x₀，y₀）在直線y=x+m上，
設(shè)直線AB的方程為y=-x+n，聯(lián)立

y=-x+n y=2x2

，消去y并整理得2x²+x-n=0，
依題意得，

△=1+8n＞0 x1x2=- n 2 =- 1 2

∴n=1．
又x₁+x₂=-

1

2

，
∴x₀=-

1

4

，y₀=-x₀+1=

5

4

．
∵C（x₀，y₀）在直線y=x+m上，
∴

5

4

=-

1

4

+m，
解得m=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知直線的關(guān)系設(shè)出直線AB的方程