Question

如圖，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)．（1）證明AB₁∥平面DBC₁；（2）假設(shè)AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）欲證AB₁∥平面DBC₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AB₁與平面DBC₁內(nèi)一直線平行，根據(jù)等腰三角形可知DE∥AB₁，又AB₁∉平面DBC₁，DE?平面DBC₁，滿足定理所需條件；
（2）作DF⊥BC，垂足為F，則DF⊥面B₁BCC₁，連接EF，則EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠DEF是二面角α的平面角，然后在三角形DEF中求出∠DEF即可．

解答：（1）證明：
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，∴四邊形B₁BCC₁是矩形．
連接B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．連接DE．
在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．
又AB₁?平面DBC₁，DE?平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．
（2）解：作DF⊥BC，垂足為F，
則DF⊥面B₁BCC₁，連接EF，
則EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．
∵AB₁⊥BC₁，
由（1）知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，則BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
設(shè)AC=1，則DC=

1

2

．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC•sinC=

3

4

，CF=DC•cosC=

1

4

．取BC中點(diǎn)G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF²=BF•GF，又BF=BC-FC=

3

4

，GF=

1

4

，
∴EF²=

3

4

•

1

4

，即EF=

3

4

．∴tan∠DEF=

DF

EF

=

3 4

3 4

=1．∴∠DEF=45°．
故二面角α為45°．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查空間線面關(guān)系、正棱柱的性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．