Question

已知函數(shù)，f '（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f '（x）是偶函數(shù)且f '（1）=0.
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，求實(shí)數(shù)的最小值；
⑶若過點(diǎn)，可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

⑴；⑵的最小值為；⑶.

試題分析：⑴，由是偶函數(shù)得.又，所以，由此可得解析式；
⑵對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，則只需即可.所以接下來就利用導(dǎo)數(shù)求在區(qū)間上的最大值與最小值，然后代入解不等式即可得的最小值．⑶易知點(diǎn)不在曲線上.凡是過某點(diǎn)的切線（不是在某點(diǎn)處的切線）的問題，都要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)然后列方程組..
設(shè)切點(diǎn)為．則．又，∴切線的斜率為．
由此得，即．下面就考查這個方程的解的個數(shù).
因?yàn)檫^點(diǎn)，可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實(shí)數(shù)解．即函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)．接下來就利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖象研究這個函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù).
試題解析：⑴∵，1分
由是偶函數(shù)得.又，所以3分
∴．4分
⑵令，即，解得．5分

						+
			極大值		極小值

∵，，
∴當(dāng)時，，．6分
則對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有
，所以．
所以的最小值為．8分
⑶∵點(diǎn)不在曲線上，
∴設(shè)切點(diǎn)為．則．
∵，∴切線的斜率為．
則，即．10分
因?yàn)檫^點(diǎn)，可作曲線的三條切線，
所以方程有三個不同的實(shí)數(shù)解．
即函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)．11分
則．
令，解得 或．

	+				+
		極大值		極小值

∴ 即 解得．12分