Question

已知

a

=(sin(

π

6

x-

π

3

)，2)，

b

=(2，sin(

π

6

x+

π

3

)+2)，f(x)=

a

•

b

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若y表示某海岸港口的深度（米），x表示一天內(nèi)時(shí)間（小時(shí)）；當(dāng)水深不低于5米時(shí)，船才能駛?cè)敫劭�，求一天�?nèi)船可以駛?cè)牖蝰偝龈劭诘臅r(shí)間共有多少小時(shí)？

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式求出f（x），利用和、差角公式化簡(jiǎn)f（x）．
（2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角不等式，列出不等式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象解出不等式的解集．

解答：解：（1）f(x)=2sin(

π

6

x-

π

3

)+2sin(

π

6

x+

π

3

)+4
=2sin

π

6

xcos

π

3

-2cos

π

6

xsin

π

3

+2sin

π

6

xcos

π

3

+2cos

π

6

xsin

π

3

+4
=4sin

π

6

xcos

π

3

+4
=2sin

π

6

x+4，
∴f（x）=2sin

π

6

x+4．

（2）由題意，令sin

π

6

x+4≥5，∴sin

π

6

x≥

1

2

．
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

x≤2kπ+

5

6

π，（k∈Z），
∴12kπ+1≤x≤12k+5，（k∈Z），
又∵0≤x≤24，∴k=0時(shí)，1≤x≤5；k=1時(shí)，13≤x≤17，
∴從晚上1點(diǎn)至5點(diǎn)，或上午13點(diǎn)至17點(diǎn)，為所求時(shí)間，共8小時(shí)，

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式、和差角公式、結(jié)合三角函數(shù)的圖象及三角函數(shù)的單調(diào)性，周期性解三角不等式．