Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx．
（I）討論函數(shù)f（x）單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=-

1

8

，0＜t＜2時(shí)，證明：曲線y=f（x）與其在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，然后分a＞0和a≤0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，a≤0時(shí)，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
a＞0時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線方程，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，因?yàn)辄c(diǎn)P（t，f（t））是曲線y=f（x）與切線的公共點(diǎn)，只要再說明函數(shù)g（x）有除了t外的另外零點(diǎn)即可，通過對(duì)函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性得到當(dāng)x∈（0，t）或x∈（t，2]時(shí)，g（x）＞g（t）=0，利用放縮法，借助與不等式說明當(dāng)x＞2t+

8

t

時(shí)，g（x）＜0，從而說明曲線y=f（x）與其在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．

解答：（Ⅰ）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由f（x）=ax²-lnx，得：f′（x）=2ax-

1

x

．
（1）若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)；
（2）若a＞0，由f′(x)=2ax-

1

x

=0，得：x=

2a

2a

．
則當(dāng)x∈（0，

2a

2a

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，

2a

2a

）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（

2a

2a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（

2a

2a

，+∞）是增函數(shù)．
（Ⅱ）證明：曲線y=f（x）在P（t，f（t））處的切線方程為y=f′（t）（x-t）+f（t），
且P為它們的一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)a=-

1

8

時(shí)，f(x)=-

1

8

x2-lnx，f′(x)=-

1

4

x-

1

x

，
設(shè)g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，則g′（x）=f′（x）-f′（t），
則有g(shù)（t）=0，且g′（t）=0．
設(shè)h（x）=g′（x）=-

1

4

x-

1

x

-f′（t），則當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h′（x）=-

1

4

+

1

x2

＞0，
于是g′（x）在（0，2）是增函數(shù)，且g′（t）=0，
所以，當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（t，2）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（t，2）是增函數(shù)．
故當(dāng)x∈（0，t）或x∈（t，2]時(shí)，g（x）＞g（t）=0．
若x∈（2，+∞），則g（x）=-

1

8

x²-lnx-[f′（t）（x-t）+f（t）]
=-

1

8

x²+（

1

4

t+

1

t

）x-

1

8

t²-1-ln

x

t

＜-

1

8

x²+（

1

4

t+

1

t

）x-

1

8

t²-1=-

1

8

x（x-2t-

8

t

）-

1

8

t²-1．
當(dāng)x＞2t+

8

t

時(shí)，g（x）＜-

1

8

t²-1＜0．
所以在區(qū)間（2，2t+

8

t

）至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀＞2，使g（x₀）=0．
因此曲線y=f（x）與其在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，對(duì)于本題（Ⅱ）的證明，涉及到構(gòu)造函數(shù)，特別是證明當(dāng)x＞2時(shí)g（x）＜0，用到了不等式證明中的放縮法，是難度較大題目．