Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

(3+2x-x2)．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)t=3+2x-x²，則y=log

1

2

t．求出f（x）的定義域，先研究t，y的單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，注意定義域；
（Ⅱ）在f（x）的定義域內(nèi)先求函數(shù)t=-（x-1）²+4的值域，再結(jié)合為y=log₂t的單調(diào)性即可求得f（x）的值域；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)t=3+2x-x²，則y=log

1

2

t．
由t=3+2x-x²＞0得x²-2x-3＜0，即（x+1）（x-3）＜0，解得-1＜x＜3．
因?yàn)閠=-（x-1）²+4，所以拋物線的對稱軸為x=1．
當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，t是x的增函數(shù)，y是t的減函數(shù)；
當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，t是x的減函數(shù)，y是t的減函數(shù)．
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，3），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1]．
（Ⅱ）如圖：
由（Ⅰ）知t=-（x-1）²+4，當(dāng)x=1時(shí)，t_max=4．
又因?yàn)閥=log₂t在（0，4]上是減函數(shù)，
所以當(dāng)t_max=4時(shí)，ymin=log

1

2

4=log

1

2

(

1

2

)-2=-2．
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)值域的求解，屬中檔題，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法：“同增異減”．