Question

考查復合函數(shù)求導的基礎知識以及導數(shù)知識的綜合應用．
已知函數(shù)，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因為函數(shù)在x=1處取極值，所以f'（1）=0求出a即可；
（2）求出f′（x），再進行分類討論：當a≥2時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當0＜a＜2時，可確定f（x）的單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間從而可知，f（x）在處取得最小值，不合，故可求a的取值范圍．
解答：解：（1）．
因f（x）在x=1處取得極值，故f'（1）=0，解得a=1 （經(jīng)檢驗）．…（4分）
（2），因x≥0，a＞0，故ax+1＞0，1+x＞0．
當a≥2時，在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）≥0，f（x）遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當0＜a＜2時，由f'（x）＞0，解得；由f'（x）＜0，解得．
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
于是，f（x）在處取得最小值，不合．
綜上可知，若f（x）得最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．…（10分）
注：不檢驗不扣分．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，考查復合函數(shù)求導的基礎知識以及導數(shù)知識的綜合應用，注意分類討論思想的運用