Question

設(shè)數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求證：數(shù)列{aⁿ+2ⁿ}是等比數(shù)列
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列的條件，建立三個(gè)數(shù)的方程，求解a₁，a₂，a₃的值．
（2）利用等比數(shù)列的定義去證明．
（3）利用放縮法證明不等式．

解答：解：（1）因?yàn)閍₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列，所以a₁+a₃=2（a₂+5），①，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₂-3，②
當(dāng)n=2時(shí)，2（a₁+a₂）=a₃-7，③
所以聯(lián)立①②③解得，a₁=1，a₂=5，a₃=19．
（2）由2sn=an+1-2n+1+1，①得2sn-1=an-2n+1(n≥2)，②，
兩式相減得2an=an+1-an_2n(n≥2)，所以

an+1+2n+1

an+2n

=

3an+2n+2n+1

an+2n

=3(n≥2)．
因?yàn)?span id="h1upibd" class="MathJye">

a2+22

a1+2

=3，所以{an+2n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．所以a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，
所以a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-2ⁿ．

（3）因?yàn)?span id="jkxikea" class="MathJye">an+1=3n+1-2n+1＞2×3n-2n+1=2an，所以

1

an+1

＜

1

2

?

1

an

，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，

1

a3

＜

1

2

?

1

a2

，

1

a4

＜

1

2

?

1

a3

…

1

an

＜

1

2

?

1

an-1

，兩邊同時(shí)相乘得

1

an

＜(

1

2

)n-2?

1

a2

，
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

5

+

1

2

×

1

5

+…+(

1

2

)n-2×

1

5

＜

7

5

＜

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列遞推式，著重考查等比數(shù)列的求和，著重考查放縮法的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大．