Question

已知函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

，g(x)=

1

f(x)-a

．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若g（2x）-a•g（x）=0，有唯一實數(shù)解，求a的取值范圍；
（3）若a=2，則是否存在實數(shù)m，n（m＜n＜0），使得函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都為[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0，代入可求a
（2）令t=2^x＞0，則可轉(zhuǎn)化為方程t²-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解，令h（t）=t²-at+1-a，則h（0）≤0，可求
（3）法一：由a=2可得，f(x)=2-

2

2x+1

，證易f（x）在R上是增函數(shù)，假設(shè)存在實數(shù)m、n（m＜n＜0）滿足題意，有

f(m)=m f(n)=n

判斷方程的解的存在情況即可
法二：易知f（x）在R上是增函數(shù)，假設(shè)存在實數(shù)m、n（m＜n＜0）滿足題意，有

f(m)=m f(n)=n

即m、n是方程f（x）=x的兩個不等負根，而由2-

2

2x+1

=x得2x+1=-

2

x-2

，令h（x）=2^x+1，g(x)=-

2

x-2

結(jié)合函數(shù)g（x）在（-∞，0]上為單調(diào)遞增函數(shù)可得（x）＞g（x），即方程2x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上無解

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）∴f（0）=0
∴a=1（2分）
（2）∵g(x)=

1

f(x)-a

=-

2x+1

2

（1分）
∴g(2x)-ag(x)=-

22x+1

2

+a×

2x+1

2

=0（1分）
令t=2^x＞0，則問題轉(zhuǎn)化為方程t²-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解．（1分）
令h（t）=t²-at+1-a，則h（0）≤0
∴a≥1（2分）
（3）法一：不存在實數(shù)m、n滿足題意．（1分）
f(x)=2-

2

2x+1

∵y=2^x在R上是增函數(shù)∴f（x）在R上是增函數(shù)（2分）
假設(shè)存在實數(shù)m、n（m＜n＜0）滿足題意，有

2- 2 2m+1 =m…(1) 2- 2 2n+1 =n…(2)

（2分）
∵m＜0∴0＜2^m＜1
∴0＜2-

2

2m+1

＜1
∴（1）式左邊＞0，右邊＜0，故（1）式無解．
同理（2）式無解．
故不存在實數(shù)m、n滿足題意．（2分）
法二：不存在實數(shù)m、n滿足題意．（1分）
易知f(x)=2-

2

2x+1

∵y=2^x在R上是增函數(shù)∴f（x）在R上是增函數(shù)（2分）
假設(shè)存在實數(shù)m、n（m＜n＜0）滿足題意，有

f(m)=m f(n)=n

即m、n是方程f（x）=x的兩個不等負根．（1分）
由2-

2

2x+1

=x得2x+1=-

2

x-2

令h（x）=2^x+1，g(x)=-

2

x-2

（1分）
∵函數(shù)g（x）在（-∞，0]上為單調(diào)遞增函數(shù)
∴當(dāng)x＜0時，g（x）＜g（0）=1
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x）
∴方程2x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上無解
故不存在實數(shù)m、n滿足題意．（2分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性及函數(shù)的零點與方程的根的相互轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用．