Question

17、某會議室用3盞燈照明，每盞燈各使用節(jié)能燈棍一只，且型號相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈棍的壽命有關(guān)，該型號的燈棍壽命為1年以上的概率為0.8，壽命為2年以上的概率為0.3，從使用之日起每滿1年進行一次燈棍更換工作，只更換已壞的燈棍，平時不換．
（I）在第一次燈棍更換工作中，求不需要更換燈棍的概率；
（II）在第二次燈棍更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該燈需要更換燈棍的概率；
（III）設(shè)在第二次燈棍更換工作中，需要更換的燈棍數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，在第一次更換燈棍工作中不需要更換燈棍即三個燈棍都不需要更換，，用相互獨立事件同時發(fā)生的概率來求出．
（2）在第二次燈棍更換工作中，對該盞燈來說，在第1，2次都更換了燈棍的概率為（1-0.8）²；在第一次未更換燈棍而在第二次需要更換燈棍的概率為0.8（1-0.3），由互斥事件的概率得到結(jié)果．
（3）共有三盞燈，在更換燈棍時需要更換的ξ的可能取值為0，1，2，3；某盞燈在第二次燈棍更換工作中需要更換燈棍的概率前面已經(jīng)做出，根據(jù)二項分布公式得到結(jié)果，

解答：解：（I）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，
設(shè)在第一次更換燈棍工作中不需要更換燈棍的概率為P₁，
∴P₁=0.8³=0.152
（II）在第二次燈棍更換工作中，對該盞燈來說，在第1，2次都更換了燈棍的概率為（1-0.8）²；
在第一次未更換燈棍而在第二次需要更換燈棍的概率為0.8（1-0.3），
由互斥事件的概率得到
∴所求概率為P=（1-0.8）²+0.8（1-0.3）=0.6；
（III）ξ的可能取值為0，1，2，3；
某盞燈在第二次燈棍更換工作中需要更換燈棍的概率為p=0.6
∴P（ξ=0）=C₃⁰p⁰（1-p）³=C₃⁰0.4³=0.064，
P（ξ=1）=C₃¹p⁰（1-p）²=C₃¹0.6×0.4²=0.288，
P（ξ=2）=C₃²p²（1-p）¹=C₃²0.6²×0.4¹=0.432，
P（ξ=3）=C₃³p⁰（1-p）⁰=C₃³0.6³×0.4⁰=0.216，
∴ξ的分布列為

此分布為二項分布ξ～N（3，0.6）
∴Eξ=np=3×0.6=1.8．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復(fù)試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式．