Question

已知點C（4，0）和直線l：x=1，P是動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0，設(shè)P點的軌跡是曲線M．
（1）求曲線M的方程；
（2）點O是坐標(biāo)原點，是否存在斜率為1的直線m，使m與M交于A、B兩點，且

CB

=2

OA

？若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由 (

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0．得 |

PQ

|=2|

PC

|．直接設(shè)出點P的坐標(biāo)，代入整理即可求出點P所在曲線以及曲線的軌跡方程M；
（2）假設(shè)存在斜率為1的直線m：y=x+n，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，整理得13年n²-8n+76=0，因其判別式△＜0，所以不存在斜率為1的直線m滿足題意．

解答：解：（1）由(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0知|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，∴|

PC

|=2|

PQ

|．（2分）
設(shè)P（x，y），代入上式得

(x-4)2+y2

=2|x-1|，（4分）
平方整理得

x2

4

-

y2

12

=1．（6分）
（2）假設(shè)存在斜率為1的直線m：y=x+n，使m與M交于A、B兩點，與

x2

4

-

y2

12

=1．聯(lián)立，
得2x²-2nx-（n²+12）=0．設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴x1+x2=n，x1x2=-

n2+12

2

，①（8分）

CB

=2

OA

，得(x2-4，y2)=2(x1，y1)，∴

x2=2x1+4 y2=y1

，②（9分）
將②代入①得∴

x1= n-4 3 n2=-4( x 2 1 +2x1+3)

，（10分）
消去x₁，整理得n²-8n+76=0，因其判別式△=8²-4×13×76＜0
所以不存在斜率為1的直線m滿足題意．（12分）

點評：本題綜合考查了橢圓的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系以及向量共線問題．是一道綜合性很強(qiáng)的好題．