Question

偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x－1)＝f(x＋1)對(duì)一切x∈R恒成立，又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝－x²＋4．

①求證f(x)是周期函數(shù)，并確定它的周期；

②求當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

�、僮C明：∵f(x)定義域?yàn)镽且f(x－1)＝f(x＋1)， 　　∴f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋1－1)＝f(x)． 　　則f(x)的一個(gè)周期為2，且2n(n∈Z，n≠0)都是y＝f(x)的周期． 　�、诮猓涸O(shè)1≤x≤2，則－2≤－x≤－1， 　　因此，0≤2－x≤1， 　　由已知有：f(2－x)＝－(2－x)2＋4， 　　∵f(x)的周期為2，且為偶函數(shù)， 　　∴f(2－x)＝f(－x)＝f(x)． 　　∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)＝－(2－x)2＋4．